Contrôlabilité de quelques systèmes couplés d'équations de la chaleur par la méthode de la platitude - Equations aux dérivées partielles
Thèse Année : 2024

Controllability of some coupled systems of heat equations by the flatness method

Contrôlabilité de quelques systèmes couplés d'équations de la chaleur par la méthode de la platitude

Résumé

In this thesis, we prove some controllability results for coupled systems of heat equations. These results are obtained by exploiting the flatness property of these systems. The flatness of a system corresponds to the possibility to parameterize its state and control by a function called flat output, which can be freely chosen. In our work, we explicitly construct solutions as integer series in the space variable whose coefficients are functions of the time. The choice of a finite number of these coefficients then determines the trajectory. This thesis is written by articles,and we focus successively on three different systems. First, we show controllability results fora cross-diffusion system with a free-boundary that models a solar panel manufacturing process. The focus is on respecting sign constraints on the state and controls, imposed by the model. We then turn to a two-phase Stefan problem, a system of two heat equations with a free boundary modeling the solid-liquid transition of a pure substance. The position of the interface between the two phases is given by a differential equation involving the solutions of the two heat equations. Controllability results are established for the temperature in each phase and the position of the interface. We aim here also to respect sign constraints. Finally, we demonstrate controllability results for a cascade system of two heat equations. Already known results on this system are improved by explicitly constructing very regular controls.
Dans cette thèse, on démontre quelques résultats de contrôlabilité pour des systèmes couplés d'équations de la chaleur. Ces résultats sont obtenus en exploitant la propriété de platitude de ces systèmes. La platitude d'un système correspond à la possibilité d'en paramétrer l'état et le contrôle par une fonction appelée sortie plate, qui peut être choisie librement. Dans nos travaux, on construit explicitement des solutions sous forme de séries entières en espace dont les coefficients sont des fonctions du temps. Le choix d'un nombre fini de ces coefficients permet de décrire la trajectoire du système. Cette thèse est rédigée par articles et on s'intéresse successivement à trois systèmes différents. Tout d'abord, on montre des résultats de contrôlabilité pour un système de diffusion croisée à frontière libre qui modélise un processus de fabrication de panneaux solaires. On s'attachera à respecter des contraintes de signe sur l'état et les contrôles, imposées par la modélisation. On s'intéresse ensuite à un problème de Stefan à deux phases, c'est un système de deux équations de la chaleur à frontière libre qui modélise la transition solide liquide d'un corps pur. La position de l'interface entre les deux phases est donnée par une équation différentielle qui fait intervenir les solutions des deux équations de la chaleur. On établit des résultats de contrôlabilité pour la température dans chaque phase ainsi que la position de l'interface. On cherche ici aussi à respecter des contraintes de signe. Enfin, on démontre des résultats de contrôlabilité pour un système de deux équations de la chaleur en cascade. On améliore ainsi des résultats déjà connus sur ce système en construisant explicitement des contrôles très réguliers.
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Dates et versions

tel-04684444 , version 1 (02-09-2024)

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  • HAL Id : tel-04684444 , version 1

Citer

Blaise Colle. Contrôlabilité de quelques systèmes couplés d'équations de la chaleur par la méthode de la platitude. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université de Lorraine, 2024. Français. ⟨NNT : 2024LORR0055⟩. ⟨tel-04684444⟩
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